Ключевые слова: математика, образование, начальное образование, язык, корпусная лингвистика.

АННОТАЦИЯ. В статье рассматривается язык математики в разрабатываемых учителями начального образования (до 6 класса) штата Алабама планах уроков, в которых используются методы корпусной лингвистики. В настоящем исследовании корпусы составлялись для языковых средств, которые учителя готовятся использовать в планах уроков, размещенных на официальном интернет-сайте Правительства штата Алабама. Ученые пришли к выводу, что учителя используют скорее общетехническую, нежели узкоспециализированную терминологию, составляя планы уроков по геометрии. Причины использования такого упрощенного языка не ясны, но исследователи подтверждают важность осмысления учителями математики последствий использования упрощенного языка и его воздействия на уровень знаний учащихся.

В последние два десятилетия язык математики стал одной из наиболее обсуждаемых тем в области преподавания математики (Schleppegrell, 2007; de Freitas & Zolkower, 2009; Ng & Rao, 2010). Это отчасти объясняется введением Общих стандартов преподавания математики, в которых показано, как язык влияет на учебный процесс на уроке математики (NGACBP& CCSSO, 2010). Многие педагоги считают, что математика представляет собой универсальный язык. Некоторые в своих утверждениях идут еще дальше, полагая, что математика вообще не зависит от какого-либо языка (Walkerdine, 1988) или культуры (Burton, 1994). Это противоречит принципам Национального совета учителей математики (NCSM, 2009), утверждающим, что «математика не является свободной от ценностей или культуры, но есть продукт человеческой деятельности. Следовательно, расовые, классовые и культурные особенности, а также язык играют ключевую роль в процессе преподавания и изучения математики» (с. 1). Развивая эту мысль, мы добавим, что необходимо понимать роль и масштаб влияния языка на уровень развития учащихся в контексте преподавания математики. Цель данного исследования – проанализировать математическую терминологию, используемую учителями начальных классов в подготовке поурочных планов, чтобы определить, как языковые средства способствуют или мешают учащимся в процессе овладения ими математическими знаниями и умениями.

«Владение языком приобретает все большее значение на уроках математики» (Pierce & Fontaine, 2009, p. 239). Клибанофф, Левин, Хаттенлохер, Васильева и Хеджиз (Klibanoff, Levine, Huttenlocher, Vasilyeva, & Hedges, 2006) утверждают, что овладение языком математики важно для понимания принципов и законов математики. Кэмпбелл и Ровэн (Campbell and Rowan, 1997) полагают, что «язык способен помочь детям структурировать и связать воедино их частичные знания по мере того, как они познают математические концепции» (с. 63). Более того, Адамс (Adams, 2003) считает, что на любом этапе обучения проблемы формирования математических навыков и умений часто вызваны сложностями в попытках учащихся понять символы, т.е. «язык математики». Он также уверен, что «тот, кто знает математику, ее использует, а тот, кто использует, способен ее читать» (2003, p. 794). Это еще больше подтверждает мнение, что язык однозначно и прочно связан с математическим образованием.

Говоря о языке математики, важно глубже проанализировать математическую терминологию. Томсон и Рубинштейн (Thompson and Rubenstein, 2000) отмечали, что «педагогам необходимо помнить, что изучение терминологии неразрывно связано с процессом овладения математикой» (с. 569). Понимание математической терминологии может вызывать трудности по причине того, что у детей не очень много возможностей говорить о математике (NCTM, 2000; Cobb, Wood & Yackel, 1993). Чтобы свободно дискутировать на математические темы, необходимо понимать терминологические нюансы. Многие математические термины имеют совершенно иные значения, если те же самые слова используются в повседневной жизни (к примеру, «сеть» или «плоскость»), что делает математику сложной для понимания и овладения детьми (Rubenstein & Thompson, 2002). Исследования показывают, что существует явная взаимосвязь между овладением математической терминологией и пониманием математических концепций. Миллер (Miller, 1993) указывает на то, что учащиеся часто не способны самостоятельно определить смысл того или иного математического термина. Более того, исследования обращают дальнейшее внимание на эту проблему, отмечая, что «без понимания терминов, постоянно используемых в процессе преподавания и изучения математики, в учебниках и задачниках, учащиеся не могут успешно овладевать математикой» (с. 312). Марзано, Пикеринг и Поллок (Marzano, Pickering, and Pollock, 2001) подтверждают мнение Миллера и идут еще дальше, подчеркивая важность целенаправленного преподавания математической терминологии и утверждая, что «обучение терминам, необходимым для понимания нового содержания, обеспечивает эффективность учебного процесса. Влияние терминологии намного сильнее еще и потому, что изучаемые слова, скорее всего, обязательно понадобятся учащимся при введении нового материала» (с. 127).

Исследуя математические профессиональные термины, Монро и Панчишин (Monroe and Panchyshyn, 1995) разделили их на четыре типа: технические, общетехнические, общие и символические. Они также предложили ряд рекомендаций по преподаванию подобной терминологии. Техническая терминология включает в себя слова, которые имеют точное математическое значение (Pierce & Fontaine, 2009). Их смысл часто сложно передать обычным языком. Примеры технических терминов – «многогранник» и «равносторонний». Общетехнические термины включают в себя слова, которые имеют разное значение в зависимости от контекста, в котором они используются. Примеры общетехнических терминов – «таблица» и «фигура». Эти слова характеризуются специфическим математическим контекстом, но могут часто использоваться в различных контекстах, не связанных с математикой. Общая лексика представляет собой общеизвестные слова, которые учащиеся встречают в обыденных текстах. Они необязательно связаны с математическими понятиями, но могут использоваться для их описания. Символы представляют собой слова или особые знаки, являющиеся абстрактными и сложно поддающимися описанию. Примеры символов – π или ∑. В данной статье используется система математических терминов Монро и Панчишина (Monroe and Panchyshyn, 1995) в качестве инструмента классификации слов, используемых для описания математических концепций в начальных классах школы.

Теоретическая основа и контекст исследования

Данное исследование опирается на социокультурные теоретические основания. Центральным в теории Выготского (Vygotsky, 1981) о социальной природе учения является положение о том, что в процессе учения невозможно разделить изучение языка и мышление. Именно благодаря механизму интериоризации формируются когнитивные умения высшего порядка. Несмотря на то, что язык и мышление являются самостоятельными процессами, они взаимосвязаны, а овладение ими в отрыве друг от друга представляет собой бесплодное занятие (Bakhurst, 1991). В этом смысле язык служит не только инструментом мышления, но и основным средством развития мышления высшего порядка. Это значит, что учение в широком смысле а, в целях данной статьи, изучение математики, не может быть понято и исследовано вне анализа языка, опосредующего математические операции.

Данное исследование изучает использование языка математики на уроках по основам геометрии учителей начального образования (от детского сада до 6 класса) в штате Алабама, США. Чтобы проанализировать использование языка математики, было необходимо выбрать математическую область, требующую большого количества языковых средств. Геометрия была выбрана именно по причине большого количества терминов, связанных с преподаванием предмета. Планы уроков были загружены с Интернет-сайта Департамента по образованию штата Алабама (http://alex.state.al.us). До публикации на сайте все планы уроков были оценены учителями, а также сотрудниками Департамента по образованию штата Алабама. Более того, все они разработаны в рамках единого формата, то есть включают разделы, совмещающие требования местных и федеральных стандартов, цели урока, использованные материалы, подготовку, процедуры и параметры оценивания. В рамках нашего исследования мы анализировали только язык раздела, раскрывающего непосредственный ход урока.

В штате Алабама 48 615 учителей, из которых 56,3% имеют образование не ниже степени магистра. 78% – белые, 20% – афроамериканцы, а остальные 2% относятся к другим этническим группам. На сайте Департамента по образованию штата Алабама утверждается, что представленные поурочные планы разработаны педагогами из всех областей штата и отражают равное представительство учителей. Исследователи изучали все доступные планы уроков по геометрии на уровне от детского сада до 6 класса.

В штате Алабама учащиеся традиционно демонстрируют низкие результаты в ходе тестов после 4-го и 8-го классов (Национальный центр образовательной статистики, 2009). С 2000 г. учащиеся 4-х классов (в возрасте 9 лет) набирают в среднем на 10-17 баллов ниже общенационального уровня, что традиционно помещает этот штат в нижний диапазон последних 10%. Учитывая такой невысокий процент успеваемости в штате, исследователи задались вопросом, какой тип терминологии учителя используют в своих планах уроков. Анализируя планы уроков, мы смогли понять, какие математические термины учителя используют, когда планируют учебный процесс. Кроме этого, мы попытались найти ответ на следующий вопрос: Какую математическую терминологию учителя начальных классов (от детского сада до 6 класса) используют в своих планах уроков по геометрии?

Методология

Исследователи воспользовались методами корпусной лингвистики, чтобы проанализировать используемые в планах уроков математические термины. Под корпусом понимается «набор лингвистических данных, либо письменных текстов или текстовых записей устной речи, которые могут использоваться в качестве начальной точки лингвистического описания» (Crystal, 2002, p.112). Независимо от того, изучалась ли письменная или устная речь, исследуемый корпус должен был быть репрезентативным. Иными словами, он долен был быть достаточным в целях исследования использованного язык. Следовательно, корпус не должен представлять собой хаотичный набор языковых средств. Напротив, необходимо было целенаправленно и осмысленно собрать аутентичные устные и письменные тексты с целью репрезентации определенной терминологии или языкового подмножества.

В рамках социокультурной парадигмы корпусная лингвистика представляет собой более чем важное методологическое основание для изучения языка, так как оно не ограничивается обобщенным опытом. Напротив, исследуется живой язык в его естественном окружении. Более того, корпус, созданный в целях данного исследования, может, по определению Ван Лиера (Van Lier, 2004), считаться экологически валидным, так как он рассматривает языковой контекст, анализирует язык сквозь критическую линзу, является продольно описательным и эмическим в своей перспективе.

Анализ данных

Анализ данных начался с изучения процедурной части планов уроков, сохраненных в формате обычного текста. Затем данные анализировались с помощью компьютерной программы конкорданса под названием AntConc (ее можно бесплатно загрузить с сайта http://www.antlab.sci.waseda.ac.jp/software.html). Эта программа позволила создать список наиболее часто используемых слов в корпусе. Как и ожидалось, самыми частотными были служебные слова, такие как артикли, частицы, а также слово «ученик». Поскольку эти слова не являются по своей природе математическими терминами, они были удалены из анализа. Далее были распечатаны списки математических терминов. Сначала вручную термины были распределены на две группы: технические и общетехнические. В свою очередь, эти списки слов были организованы по графическому отображению данных (Miles and Huberman, 1994). Общие термины и символы, согласно определению Монро и Панчишина (Monroe and Panchyshyn, 1995), были также исключены из анализа. Общие термины не включались, так как мы посчитали их не соответствующими целям нашего исследования. Символы не были включены, поскольку они не обнаружены в данном корпусе.

По завершении классификации исследователи сравнили полученные списки. Термины анализировались в контексте их использования в планах уроков. В данном контексте мы смогли выделить различные функции терминов, использованных в определенном окружении. Межэкспертная достоверность классификации технических и общетехнических терминов вычислялась посредством деления количества случаев согласия экспертов по каждому термину на общее количество лексических единиц, включенных в выборку (Miles & Huberman, 1994). Результатом вычисления межэкспертной достоверности было 92% согласия экспертов по лексическим единицам в выборке для технических терминов и 89% для общетехнических терминов. В случаях, когда эксперты не приходили к согласию, исследователи обсуждали каждое конкретное слово, чтобы определить, относится ли оно к техническому или к общетехническому термину, или же слово необходимо вообще исключить из выборки. Для того чтобы ответить на вопрос, какую математическую терминологию учителя начальных классов (от детского сада до 6 класса) используют в своих планах уроков по геометрии, исследователи провели анализ частотности слов.

Результаты

В ходе анализа были выявлены два типа математических терминов. Они были далее разделены на технические или суб-технические на основе критериев, предложенных Монро и Панчишиным (Monroe and Panchyshyn, 1995). Технические термины определялись как слова, имеющие только одно специфическое значение. Следовательно, к суб-техническим терминам относились многозначные слова. Процент частотности технических терминов в планах уроков по геометрии для начальной школы (до 6 класса) представлен в Таблице 1.

Таблица 1 - Технические термины

Количество слов Лемма Процентное содержание

Некоторые из наиболее частотных терминов относятся к общеизвестным фигурам. Примечательно, что «многоугольник» стоит на втором по частотности месте. Следующий пример иллюстрирует то, как термин «многоугольник» использовался в контексте плана урока в третьем классе (учащиеся в возрасте 8 лет): «Дайте задание классу посмотреть на фигуры многоугольников и попросите их назвать каждый многоугольник. При нахождении каждого многоугольника попросите учащихся сказать, сколько у него сторон и как измерить его периметр. Объясните, что периметр измеряется в разных единицах в зависимости от размера многоугольника, например, в дюймах, сантиметрах, ярдах, милях и т.д.»

Использование термина «многоугольник» задает контекст урока по теме измерения периметра. Хотя периметр относится к области геометрических вычислений, использование термина «многоугольник» чрезвычайно важно для понимания учебного материала. Данный пример демонстрирует взаимосвязь математических знаний и соответствующих терминов.

Вышеописанный пример с многоугольником согласуется с определением технического термина, предложенным Монро и Панчишиным (Monroe and Panchyshyn, 1995). Эти термины имеют специфическое значение и чрезвычайно важны для понимания математических концепций. Хотя здесь приведен только один пример, предложенная выборка согласуется с контекстом, в котором были использованы остальные термины при составлении планов уроков на всех ступенях.

На фоне множественной технической терминологии мы насчитали лишь шесть суб-технических терминов. Вопреки количеству, частотность их использования очень высока. Процент частотности этих терминов в планах уроков по геометрии для начальной школы (до 6 класса) представлен в Таблице 2.

Таблица 2 - Суб-технические термины

Слово «фигура» оказалось наиболее частотным в списке из всех терминов (технических и суб-технических) полученного корпуса. Это неудивительно, учитывая то, что термин «фигура» можно встретить в текстах образовательных стандартов штата Алабама для всех ступеней обучения за исключением 3 и 6 классов. Однако контекст, в котором этот термин используется в планах уроков, достаточно разнообразен. Следующий пример иллюстрирует то, как термин «фигура» использовался в контексте плана урока во втором классе (учащиеся в возрасте 7 лет): «Скажите учащимся, как вы собираетесь поднимать вверх наборы фигур, где не хватает одной геометрические фигуры из полного ряда. Учащиеся должны определить, какая фигура отсутствует, и построить ее с помощью своих веревок. Поднимайте бумажные фигуры поочередно, например, круг, прямоугольник, квадрат; круг, прямоугольник, _____. Учащиеся должны построить квадрат. Чтобы подкрепить знания вербально после того, как учащиеся построили фигуру, попросите их назвать данную фигуру».

Данный пример из плана урока второго класса иллюстрирует то, как учитель демонстрирует на одном уроке математики несколько понятий. Хотя в уроке используются геометрические термины, по сути, урок имеет черты урока алгебры.

Использование термина «фигура» в плане урока в шестом классе (учащиеся в возрасте 11 лет) будет отличаться от предыдущего контекста. Цель урока заключается в том, чтобы учащиеся определили объем и площадь предъявляемых упаковок разных размеров, предназначенных к отгрузке. Учащиеся должны вычислить стоимость перевозки каждой упаковки: «Учащиеся должны создать модели каждой упаковки и подсчитать стоимость перевозки с использованием электронной таблицы. Электронная таблица будет включать в себя объем и площадь каждой фигуры». Этот урок геометрии вводит несколько различных математических понятий. Во втором классе термин «форма» используется в общем смысле, чтобы описывать геометрические фигуры. В шестом классе этот термин описывает более сложные, многомерные фигуры. Эти два примера показывают, как различен контекст использования суб-технического термина «фигура».

Анализ технических и суб-технических терминов дает исследователям и учителям понимание того, как учителя выбирают термины при составлении планов уроков. Эта информация может помочь повысить эффективность преподавания математики в начальной школе.

Выводы

Понимание того, как учитель пользуется терминологией при составлении планов уроков, чрезвычайно важно, поскольку позволяет преподавателю оценить собственный язык обучения. Один из выводов данного исследования заключается в том, что учителя преимущественно используют технические термины. Более того, степень и методы использования суб-технических терминов влияют на качество преподавания. Высокая частотность суб-технических терминов в планах уроков важна для учителей, так как, по мнению Рубинштейна и Томсона (Rubenstein & Thompson, 2002), многозначность математических терминов может вызывать трудности у учащихся. Учитывая эту высокую частотность суб-технических математических терминов, учителя должны научиться «расшифровывать» потенциальные затруднения в понимании учащимися математических концептов на уроках.

Частотные списки как технических, так и суб-технических терминов позволили прийти к выводу, что педагоги в целом предпочитают упрощенный язык. Например, что касается технических терминов, повсеместно используются такие слова как «треугольник» и «многоугольник», избегая при этом более сложных терминов, таких как «десятиугольник» или «восьмигранник». То же самое можно сказать и о выборе учителями суб-технической терминологии. Причины остаются для нас неясными. Возможно, это происходит вследствие того, что учителя не владеют в совершенстве знаниями в области геометрии. Или же они прибегают к упрощенному языку преподавания, так как считают сложные формализованные понятия не соответствующими уровню развития своих учащихся.

Данное исследование вносит важный методологический вклад в процесс преподавания математики за счет расширения применяемого учителями лингвистического корпуса. Анализ языка преподавания на уроках геометрии позволяет количественно оценить то, как используется математическая терминология. Более того, авторы уверены, что корпусная лингвистика должна быть задействована как мощный исследовательский инструмент исследования языка вне зависимости от области знаний.

Литература

1. Adams, T. L. (2003). Reading mathematics: More than words can say. The Reading Teacher. 56(8): 786-795.
2. Bakhurst, D. (1991). Consciousness and revolution in Soviet philosophy. Cambridge University Press.
3. Burton, L. (1994). Forward to the Twenty-First Century? Teaching Mathematics Applications,13, 1-4.
4. Campbell, P. F. & Rowan, T. E. (1997). Teacher Questions + Student Language + Diversity = Mathematical Power National Council of Teachers of Mathematics Yearbook. (p.60-70) Reston VA: NCTM.
5. Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking, and classroom practice. In N. Minick, E. Forman, & A. Stone (Eds.), Education and mind: Institutional, social, and developmental processes (pp. 91-119). New York: Oxford University Press.
6. Crystal, D. (2003). A dictionary of linguistics & phonetics. Oxford: Blackwell.
7. De Freitas, E. & Zolkower, B. (2009). Using social semiotics to prepare teachers to teach for social justice. Journal of Mathematics Teacher Education, 12(3), 187-203.
8. Klibanoff, R., Levine, S., Huttenlocher, J., Vasilyeva, M., & Hedges, L. (2006). Preschool children’s mathematical knowledge: The effect of teacher “math talk”. Developmental Psychology, 42, 59-69.
9. Marzano, R. J., Pickering, D. J., & Pollock, J. E. (2001). Classroom instruction that works: Research-based strategies for increasing student achievement. Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development.
10. Miller, D. L. (1993). Making the connection with language. Arithmetic Teacher, 40(6), 311–316.
11. Miles, M. B., & Huberman, A. M. (1994). Qualitative data analysis: An expanded sourcebook. Sage: London.
12. Monroe E. & Panchyshyn, R. (1995), Vocabulary considerations for teaching mathematics. Childhood Education, 72(2), 80-83.
13. National Center for Educational Statistics (2009). The Nation’s Report Card. Retrieved from http://nces.ed.gov/nationsreportcard/
14. National Council of Supervisors of Mathematics (NCSM). (2009). Improving Student Achievement in Mathematics by Addressing the Needs of English Language Learners. (NCSM Improving Student Achievement Series, No. 6). Reston, VA: Author.
15. National Governors Association Center for Best Practices & Council of Chief State School Officers. (2010). Common Core Standards for Mathematics. Washington, D.C.: Authors.
16. Ng, N. N. S., & Rao, N. (2010). Chinese number words, culture, and mathematics learning. Review of Educational Research, 80(2), 180-206.
17. Pierce, M. E. & Fontaine, L. M. (2009). Designing vocabulary instruction in mathematics. The Reading Teacher, 63(3), 239-243.
18. Rubenstein, R. & Thompson, D. (2000). Learning mathematics vocabulary: Potential pitfalls and instructional strategies. Mathematics Teacher, 93, 568-574.
19. Rubenstein, R.N. & Thompson, D.R. (2002). Understanding and supporting children's mathematical vocabulary development. Teaching Children Mathematics, 9(2), 107–112.
20. Schleppegrell, M. J. (2007). The linguistic challenges of mathematics teaching and learning: a Research review. Reading & Writing Quarterly, 23(2), 139-159.
21. Van Lier, L. (2004). The ecology and semiotics of language learning: A sociocultural perspective. New York: Springer.
22. Vygotsky, L.S. (1981). The genesis of higher mental functions. In J.V. Wertsch (Eds.) The Concept of Activity in Soviet Psychology (pp.144-188). Armonk, NY: M.E. Sharpe.
23. Walkerdine, V. (1988). The mastery of reason: Cognitive development and the production of rationality. Routledge, Chapman & Hall: Incorporated.